Skup celih brojeva

Skup celih brojeva Z predstavlja skup Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. To je prebrojiv skup.

Veći je od skupa prirodnih brojeva јеr obuhvata nulu i negativne brojeve, odnosno sadrži skup prirodnih brojeva kao svoj pravi podskup .

Isto kao i prirodni brojevi skup Z je zatvoren u odnosu na operaciju množenja i sabiranja, odnosno zbir i proizvod bilo koja dva cela broja je ceo broj. Operacija oduzimanja u skupu N nije zatvorena, a u skupu Z jeste, za razliku od operacije deljenja. Deljenje nije definisano u Z .

sabiranje

množenje

zatvorenost:

a + b   је ceo broj

a × b   је ceo broj

komutativnost:

a + b  =  b + a

a × b  =  b × a

neutralni element:

a + 0  =  a

a × 1  =  a

suprotan element:

a + (−a)  =  0

distributivnost

a × (b + c)  =  (a × b) +(a × c)

asocijativnost

a + (b + c)  =  (a + b) + c

a × (b × c)  =  (a × b) × c

Uzmimo proizvoljna tri cela broja a, b, c (a, b, c   Z).
U skupu celih brojeva, za njih ce važiti sledeće osobine:

1.   a+b element skupa Z,  a, b    Z
(kažemo da su operacije sabiranja i množenja “zatvorene” u skupu Z)

2.   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu Z važi zakon asocijacije za sabiranje)

3.   a+b = b+a   (u skupu Z važi komutativni zakon za sabiranje)

4.   a·(b·c) = (a·b)·c      (važi asocijativni zakon za množenje)

5.   a·b = b·a    (važi komutativni zakon za množenje)

6.   a·(b+c) = a·b + a·c,  (b+c)·a = b·a + c·a   (važi distributivni zakon množenja prema sabiranju)

7.   1·a = a·1 = a   (broj jedan je neutralan pri množenju)

Sledece osobine su karakteristične za skup Z (nisu nasleđene od skupa N):

8.   0+a = a+0 = a  (neutralnost nule pri sabiranju)

9.   a+ (-a) = (-a) + 0 = 0  (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)

Kao sto smo uveli relaciju ≤u skup N, uvešćemo je i u skup Z na sledeći način:
ako a-b
element skupa N, pri cemu a,b element skupa Z, onda kazemo da je b manji od a, a ako a-b nije element skupa N, tada kažemo da je a manji ili jednak b.
Tako dobijamo uređenu strukturu (Z, ≤) sa osobinama od 10. do 13. koje se poklapaju sa istim osobenostima u skupu N i osobinom 14. koja se razlikuje od one u skupu N:

Za relaciju ≤u skupu Z važe sledeće osobine (stav 10 će biti unet u skupu Q):

10.   a<b ili a=b ili a>b   (Zakon trihotomije)

11.   Ako je a ≤b i b ≤ a tada je a = b   (zakon antisimetricnosti relacije ≤)

12.   Ako je a ≤b i b ≤ c tada je a ≤ c   (Zakon tranzitivnosti relacije ≤)

13.   Za svako c element skupa Z, iz a ≤ b sledi a+c ≤b+c   (saglasnost relacije ≤ prema sabiranju)

15.    Ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ ab  (saglasnost relacije ≤prema množenju)