Skup celih brojeva Z predstavlja skup Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}. To je prebrojiv skup.
Veći je od skupa prirodnih brojeva јеr obuhvata nulu i negativne brojeve, odnosno sadrži skup prirodnih brojeva kao svoj pravi podskup 
.
Isto kao i prirodni brojevi skup Z je zatvoren u odnosu na operaciju množenja i sabiranja, odnosno zbir i proizvod bilo koja dva cela broja je ceo broj. Operacija oduzimanja u skupu N nije zatvorena, a u skupu Z jeste, za razliku od operacije deljenja. Deljenje nije definisano u Z .
|
sabiranje |
množenje |
|
|
zatvorenost: |
a + b је ceo broj |
a × b је ceo broj |
|
komutativnost: |
a + b = b + a |
a × b = b × a |
|
neutralni element: |
a + 0 = a |
a × 1 = a |
|
suprotan element: |
a + (−a) = 0 |
|
distributivnost |
a × (b + c) = (a × b) +(a × c) |
|
|
asocijativnost |
a + (b + c) = (a + b) + c |
a × (b × c) = (a × b) × c |
Uzmimo proizvoljna tri cela broja a, b, c (a, b, c ∈ Z).
U skupu celih brojeva, za njih ce važiti sledeće osobine:
1. a+b element skupa Z, a, b ∈ Z
(kažemo da su operacije sabiranja i množenja “zatvorene” u skupu Z)
2. a+(b+c) = (a+b)+c (u skupu Z važi zakon asocijacije za sabiranje)
3. a+b = b+a (u skupu Z važi komutativni zakon za sabiranje)
4. a·(b·c) = (a·b)·c (važi asocijativni zakon za množenje)
5. a·b = b·a (važi komutativni zakon za množenje)
6. a·(b+c) = a·b + a·c, (b+c)·a = b·a + c·a (važi distributivni zakon množenja prema sabiranju)
7. 1·a = a·1 = a (broj jedan je neutralan pri množenju)
Sledece osobine su karakteristične za skup Z (nisu nasleđene od skupa N):
8. 0+a = a+0 = a (neutralnost nule pri sabiranju)
9. a+ (-a) = (-a) + 0 = 0 (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)
Kao sto smo uveli relaciju ≤u skup N, uvešćemo je i u skup Z na sledeći način:
ako a-b element skupa N, pri cemu a,b element skupa Z, onda kazemo da je b manji od a, a ako a-b nije element skupa N, tada kažemo da je a manji ili jednak b.
Tako dobijamo uređenu strukturu (Z, ≤) sa osobinama od 10. do 13. koje se poklapaju sa istim osobenostima u skupu N i osobinom 14. koja se razlikuje od one u skupu N:
Za relaciju ≤u skupu Z važe sledeće osobine (stav 10 će biti unet u skupu Q):
10. a<b ili a=b ili a>b (Zakon trihotomije)
11. Ako je a ≤b i b ≤ a tada je a = b (zakon antisimetricnosti relacije ≤)
12. Ako je a ≤b i b ≤ c tada je a ≤ c (Zakon tranzitivnosti relacije ≤)
13. Za svako c element skupa Z, iz a ≤ b sledi a+c ≤b+c (saglasnost relacije ≤ prema sabiranju)
15. Ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ ab (saglasnost relacije ≤prema množenju)