Matematika

(0 review)
300,00 RSD
Matematika

Racionalni brojevi

Posmatrajmo jednačinu:   ax = b  gde su a i b dati celi brojevi, a ≠ 0,  x nepoznat broj. Ova jednačina će imati rešenja u skupu Z u slučajevima kada je njeno rešenje ceo broj, kao npr.:  5x = -10,  odakle sledi da je x = -2.

Postavlja se pitanje, šta raditi u situaciji kada imamo jednačinu tipa:

5x = 9   ili neku sličnu, gde rešenje nije u skupu celih brojeva?

Tada skup celih brojeva proširujemo u skup racionalnih brojeva, koji (najčešće) označavamo sa Q:

Q = {b/a | b Z, a  Z \{0}}.

Znači, a pripada skupu celih brojeva, sa izuzetkom nule (jer ne možemo deliti broj nulom), dok b Z.

Obzirom da je skup prirodnih brojeva N podskup skupa celih brojeva Z, skup Z nasleđuje osobine algebarske strukture (N,+, ·) i produžuje ove operacije na način opisan u lekciji Skup celih brojeva (Skup Z).

Na isti način, skup Q nasledjuje osobine algebarske strukture (Z,+, · ) i produžuje ih:

Nasleđene osobenosti:

Sve dole navedeno važi i u skupu Q:

1.   a+b element skupa Z,  a, b Z
  (kažemo da su operacije sabiranja i množenja “zatvorene” u skupu Z)

2.   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu Z važi zakon asocijacije za sabiranje)

3.   a+b = b+a   (u skupu Z važi komutativni zakon za sabiranje)

4.   a·(b·c) = (a·b)·c      (važi asocijativni zakon za množenje)

5.   a·b = b·a    (važi komutativni zakon za množenje)

6.   a·(b+c) = a·b + a·c,  (b+c)·a = b·a + c·a   (važi distributivni zakon množenja prema sabiranju)

7.   1·a = a·1 = a   (broj jedan je neutralan pri množenju)

Sledeće osobine su karakteristične za skup Z (nisu nasleđene od skupa N):

8.   0+a = a+0 = a  (neutralnost nule pri sabiranju)

9.   a+ (-a) = (-a) + 0 = 0  (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)

Osobenosti karakteristične samo za algebarsku strukturu (Q,+, · ):

Jednacine  a+x = b  (a, b  Q)  i   ax = b  (a, b Q, a ≠0) imaju jedinstvena rešenja.

Posebno, za svako a ≠ 0, jednačina:  ax = 1 ima jedinstveno rešenje 1/a.

Ovaj broj se naziva recipročan broj broja a i oznacava se i sa a-1.

Dakle, struktura (Q,+, · ), pored nabrojanih (nasleđenih osobina) ima još jednu osobinu:

10. za svako a Q\{0} postoji jedinstven broj a-1, takav da je:

a · a-1 = a-1 · a = 1

Uređena struktura struktura (Q, ≤) nasleđuje osobine strukture (Z, ≤):

Nasleđene osobenosti:
Za relaciju ≤ u skupu Z (a sada i u skupu Q) važe sledeće osobine:

11.   a<b ili a=b ili a>b   (Zakon trihotomije)

12.   Ako je a ≤ b i b ≤ a tada je a = b   (zakon antisimetričnosti relacije≤)

13.   Ako je a ≤ b i b ≤ c tada je a ≤ c   (Zakon tranzitivnosti relacije ≤ )

14.   Za svako c Z, iz a ≤ b sledi a+c ≤ b+c   (saglasnost relacije ≤ prema sabiranju)

15.    Ako je 0 ≤ a i 0 ≤ b tada je 0 ≤ab  (saglasnost relacije ≤ prema množenju)
Uređen skup Q ima još jednu značajnu osobinu, koju nazivamo gustina racionalnih brojeva, koju ne poseduju ni prirodni ni celi brojevi:

Teorema 3.   Za bilo koja dva racionalna broja a i b, takva da je a<b, postoji racionalan broj c = (a+b)/2 (aritmetička sredina ovih brojeva), za koji važi da je a<c<b.
Napomenimo da se brojevi sa konačnim brojem decimala i brojevi kod kojih se ponavlja ista sekvenca decimala mogu predstaviti u obliku razlomka (kao racionalni brojevi), dok se to ne može sa brojevima kod kojih nema ponavljanja jedne decimale ili grupe decimala, pa između ostalog, imamo:

Teorema 4.   Ne postoji racionalan broj x koji zadovoljava jednačinu  x2 = 2

Ovo praktično znači da se koren iz 2 (koji je rešenje ove jednačine) ne može predstaviti u obliku razlomka dva cela broja.

Dalje proširenje skupa svih do sada definisanih brojeva vršimo pomoću skupa Iracionalnih brojeva.
Napomenimo i da skup Iracionalnih brojeva nije proširenje skupa racionalnih brojeva, već odvojen skup:

Q

Skup realnih brojeva R:  R = Q U I

 

Ovaj kurs je prvenstveno namenjen učenicima osmog razreda Osnovnih škola Srbije kao priprema za polaganje prijemnog iz matematike za upis u srednje škole. Zadaci pokrivaju sve najvažnije oblasti koje su obrađene u Osnovnoj školi, počev od razlomaka iz petog razreda, pa do geometrijskih tela iz osmog razreda. Svaka oblast je razrađena na više lekcija.

Karakteristike kursa

  • Lekcija 35
  • Testova 0
  • Trajanje 50 časova
  • Nivo kursa Osnovna škola
  • Jezik kursa Srpski
  • Polaznika 16
  • Sertifikat No
  • Procena Self
  • Brojevi i operacije sa njima 0/6

  • Algebra i funkcije 0/7

    • Lekcija2.1
      Stepen čiji je izložilac prirodni broj. Operacije sa stepenima
      19m
    • Lekcija2.2
      Kvadratni koren. Operacije sa korenima
      17m
    • Lekcija2.3
      Polinomi
      40m
    • Lekcija2.4
      Proporcije i primena
      35m
    • Lekcija2.5
      Linearne jednačine i nejednačine sa jednom nepoznatom
      30m
    • Lekcija2.6
      Linearna funkcija i njen grafik
      30m
    • Lekcija2.7
      Sistemi dve linearne jednačine sa dve nepoznate
      30m
  • Geometrija 0/15

    • Lekcija3.1
      Geometrijski pojmovi-međusobni odnosi
      30m
    • Lekcija3.2
      Ugao
      30m
    • Lekcija3.3
      Trougao – vrste i uglovi
      30m
    • Lekcija3.4
      Četvorougao – vrste i uglovi
      30m
    • Lekcija3.5
      Četvorougao – obim i površina
      30m
    • Lekcija3.6
      Trougao – obim i površina
      30m
    • Lekcija3.7
      Krug – osnovni elementi, centralni i periferijski ugao kruga
      30m
    • Lekcija3.8
      Krug – obim i površina, dužina kružnog luka, površina kružnih delova
      30m
    • Lekcija3.9
      Osna simetrija i podudarnost geometrijskih figura
      30m
    • Lekcija3.10
      Pitagorina teorema
      30m
    • Lekcija3.11
      Talesova teorema. Sličnost trouglova
      30m
    • Lekcija3.12
      Kvadar i kocka
      30m
    • Lekcija3.13
      Prizma
      30m
    • Lekcija3.14
      Piramida
      30m
    • Lekcija3.15
      Valjak, kupa i lopta
      35m
  • Merenje 0/3

    • Lekcija4.1
      Pravila zaokrugljivanja realnih brojeva
      30m
    • Lekcija4.2
      Jedinice mere za dužinu, površinu i zapreminu
      30m
    • Lekcija4.3
      Jedinice mere za masu i vreme
      30m
  • Obrada podataka 0/4

    • Lekcija5.1
      Dekartov pravougli koordinatni sistem
      10m
    • Lekcija5.2
      Tablično i grafičko predstavljanje statističkih podataka
      10m
    • Lekcija5.3
      Procenti
      5m
    • Lekcija5.4
      Srednja vrednost i medijana
      10m

Ocena polaznika

Prosečna ocena

0
0 rating

Detaljnija ocena

5 stars
0
4 stars
0
3 stars
0
2 stars
0
1 star
0